Möbiova páska

21.02.2012 22:48

 

Möbiova páska (také Möbiův pás, Möbiův pásek nebo Möbiův list) je plocha, která má jen jednu stranu a jednu hranu. 

Tento experiment ukazuje pozoruhodné vlastnosti prostoru, které v denní praxi někdy unikají pozornosti. Patří ke skupině experimentů z matematické topologie, zastoupené na výstavě např. vlastnostmi uzlů a jejich vázáním.

Zatímco plošné předměty denního života mají dvě strany, rub a líc, jako třeba list papíru, bankovka, hrací karta, šaty, košile atd., Möbiova páska má pouze jednu stranu. Zhotoví se z obdélníkového proužku papíru dlouhého asi 30 cm slepením jeho kratších stran. Označíme-li vrcholy obdélníku postupně dokola ABCD (delší strany jsou AB a CD), slepíme k sobě kratší strany tak, aby se bod A dostal k bodu C a bod B k bodu D (proužek papíru se před slepením překroutí o půlotáčku). Kdybychom proužek slepili bez otáčení, měl by dvě strany, které by bylo možno nabarvit dvěma různými barvami. K natření Möbiovy pásky ale stačí jen jedna barva. Zkroutíme-li před slepením proužek o dvě půlotáčky, bude mít zase dvě strany. Obecně lichým počtem půlotáček vytvoříme jednostrannou plochu, sudý počet půlotáček povede ke dvoustranné ploše. Topologicky „podobná" plocha je Kleinova láhev.

 

V roce 1858 ji nezávisle na sobě objevili (resp. „vynalezli“) matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedikt Listing. Ve starší literatuře se nazývá také Simonyho prstenec. Möbiova páska byla nazvána podle německého astronoma a matematika Augusta Ferdinanda Möbia (1790-1868) z Lipska.

Protože orientace plochy Möbiovy pásky není možná, patří mezi neorientovatelné plochy. 

Není to žádné složité zařízení, přesto velmi názorně ukazuje efekty, které způsobují deformace dvojrozměrné plochy do třetího rozměru.

 

K vytvoření stačí vzít delší a užší pruh papíru, jehož jeden konec se jednou příčně přetočí (jedna půlotáčka) a slepí se s druhým koncem. Nevznikne tak běžný prstenec se dvěma stranami, ale kupodivu objekt, který je sice trojrozměrný, má však jen jednu jedinou stranu (rub a líc na sebe navzájem navazují, jedno přechází v druhé). Má tedy ve skutečnosti jen líc (nebo jen rub). Pásku podobných vlastností též získáme, pokud počet příčných přetočení jednoho konce pásky vůči druhému bude lichý.

 

Rozstřižení

Tento pokus může mít spoustu variant.

Möbiův proužek není rozstřižen podélně uprostřed, ale u okraje - vzniknou dva do sebe vpletené proužky, jeden dvakrát delší než původní proužek bez vlastností Möbiova proužku, druhý s jeho vlastnostmi. Pokud budeme v rozstříhávání pokračovat, vzniknuvší proužky budou propleteny se všemi předcházejícími.

Möbiův proužek je rozstřižen podélně uprostřed - vznikne jeden dlouhý, několikrát protočený proužek.

Proužek bez přetočení je rozstřižen podélně uprostřed - vzniknou dva samostatné proužky původních vlastností.

Proužek dvakrát přetočen je rozstřižen podélně uprostřed - vzniknou dva proužky původních vlastností zapletené do sebe. 

Proužek třikrát přetočen je rozstřižen podélně uprostřed - vznikne jeden dlouhý, několikrát protočený proužek, který vytváří sám na sobě jednoduchý uzel.

Möbiův proužek je v polovině křížem slepen a je rozstřižen podélně uprostřed - vznikne jeden dlouhý proužek se čtyřmi rohy.

Proužek bez přetočení je v polovině křížem slepen a je rozstřižen podélně uprostřed - vzniknou tři samostatné proužky, dva menší s jedním rohem a jeden dvojnásobný se dvěma rohy.

 

Tímto způsobem lze vytvářet další varianty pokusu, kde již záleží jen na složitosti lepení a stříhání.